Question

6．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为$\frac{1}{2}$与p，且乙投球3次均未命中的概率为$\frac{1}{27}$．
（1）求乙投球的命中率p；
（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由乙投球3次均未命中的概率为$\frac{1}{27}$，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出乙投球的命中率p．
（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及Eξ．

解答 解：（Ⅰ）P（乙投球3次均未命中）=${C}_{3}^{0}{p}^{0}（1-p）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
∵（1-p）³=$\frac{1}{27}$，解得p=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3，
则P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×{C}_{2}^{0}（\frac{2}{3}）^{0}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{9}$=$\frac{1}{18}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$+$\frac{1}{2}×{C}_{2}^{0}（\frac{2}{3}）^{0}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{5}{18}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{2}×{C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{0}+\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{9}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{2}×{C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{0}$=$\frac{2}{9}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

∴Eξ=$0×\frac{1}{18}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{2}{9}$=$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．