Question

1．已知点F₁、F₂依次为双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a，b＞0）的左右焦点，|F₁F₂|=6，B₁（0，-b），B₂（0，b）．
（1）若$a=\sqrt{5}$，以$\overrightarrow d=（3，-4）$为方向向量的直线l经过B₁，求F₂到l的距离；
（2）若双曲线C上存在点P，使得$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}=-2$，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：c=3，由$a=\sqrt{5}$，求得b的值，根据向量共线定理求得直线的斜率k，直线过F₂（3，0），求得直线方程，根据点到直线的距离公式即可求得F₂到l的距离；
（2）设出P点坐标，由双曲线的性质可知：a²=9-b²，根据向量数量积的坐标表示求得x₀²+y₀²-b²=-2，由点P在双曲线上，将P点坐标代入双曲线上，整理得2b⁴-11b²=9y₀²，由y₀²≥0，及b＜3，即可求得b的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：c=3，F₂（3，0），
c²=a²+b²，$a=\sqrt{5}$，
∴b=2，
设直线l的方程为y=kx+m，
$\overrightarrow d=（3，-4）$为方向向量的直线l，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
点B₁（0，-2）在直线l上，m=-2，
∴直线方程为4x+3y+6=0，
F₂到l的距离d=$\frac{丨4×3+4×0+6丨}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{18}{5}$
（2）由题意可知：c=3，设P（x₀，y₀），
c²=a²+b²，得a²=c²-b²=9-b²，①
$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（x₀，y₀+b），$\overrightarrow{P{B}_{2}}$=（x₀，y₀-b），
$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}=-2$，整理得：x₀²+y₀²-b²=-2，
则：x₀²=b²-y₀²-2，②
由点P在双曲线上：∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，③
将①②代入③整理得：$\frac{{b}^{2}-{y}_{0}^{2}-2}{9-{b}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴（b²-y₀²-2）×b²-y₀²×（9-b²）=（9-b²）×b²，
整理得：2b⁴-11b²=9y₀²，
∵y₀²≥0，
∴2b⁴-11b²≥0，
解得：b≥$\frac{\sqrt{22}}{2}$，
∵b＜3，
实数b的取值范围[$\frac{\sqrt{22}}{2}$，3）．

点评 本题考查双曲线的性质及应用，考查求直线的方程、点到直线的距离公式及向量数量积的坐标表示，考查分析问题及解决问题的能力，综合性较强，属于中档题．