Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

1

2

，且f(

1

2

)=0，当x＞

1

2

时，f（x）＞0．
（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N^*）；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，确定f(1)=

1

2

，当n∈N*，f(n+1)=f(n)+f(1)+

1

2

，从而可得f（n+1）-f（n）=1，即{f（n）}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列，利用等差数列的求和公式，即可得到结论；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，设设x₁＜x₂，x₁，x₂∈R，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁），利用条件即可证明．

解答：解：（1）令x=y=

1

2

，则f(1)=f(

1

2

)+f(

1

2

)+

1

2

，∴f(1)=

1

2

，
则当n∈N*，f(n+1)=f(n)+f(1)+

1

2

，∴f（n+1）-f（n）=1，
∴{f（n）}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列．
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=

1

2

n+

n(n-1)

2

=

n2

2

；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
证明：设x₁＜x₂，x₁，x₂∈R，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f(x2-x1)+f(x1)+

1

2

-f(x1)
=f(x2-x1)+f(

1

2

)+

1

2

=f(x2-x1+

1

2

)，
∵x₂＞x₁，∴x2-x1+

1

2

＞

1

2

，
由于当x＞

1

2

时，f（x）＞0，
∴f(x2-x1+

1

2

)＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函数．

点评：本题考查数列的运用，考查赋值法，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．