Question

7．已知F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴．若|PF|=$\frac{1}{4}$|AF|，则该椭圆的离心率是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 F（-c，0），A（a，0），把x=-c代入椭圆方程可得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，可得|PF|，|AF|=a+c，利用|PF|=$\frac{1}{4}$|AF|，即可得出．

解答 解：F（-c，0），A（a，0），把x=-c代入椭圆方程可得：y²=${b}^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）$=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|PF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，AF=a+c，
∵|PF|=$\frac{1}{4}$|AF|，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{4}$（a+c），
∴4（a²-c²）=a²+ac，
化为：4e²+e-3=0，又0＜e＜1，
解得e=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．