Question

9．已知正方形ABCD，M是DC的中点，由$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$确定m，n的值，计算定积分 ${∫}_{mπ}^{nπ}$sinxdx=1．

Answer 1

分析 先根据向量的意义求出m，n的值，再根据定积分的计算法计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，
∴m=-$\frac{1}{2}$，n=1，
∴${∫}_{mπ}^{nπ}$sinxdx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{π}$sinxdx=-cosx|${\;}_{-\frac{π}{2}}^{π}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了向量的几意义以及定积分的计算，属于基础题．