Question

19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面PBC，PA=PB=2，PC=4，∠BPC=60°．
（Ⅰ）平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）E为BA的延长线上的一点．若二面角P-EC-B的大小为30°，求BE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过余弦定理及勾股定理可得BC⊥AB，利用线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅱ）取AB的中点F、连结PF，过F作FG⊥EC于G、连结PG，则∠PGF是二面角P-EC-B的平面角，利用△EFG∽△ECB，计算可得BE=2$\sqrt{2}$+4．

解答 （Ⅰ）证明：在△PBC中，PB=2，PC=4，
由余弦定理，得BC=2$\sqrt{3}$，
经计算，得AC=2$\sqrt{5}$，AB=2$\sqrt{2}$，
所以AB²+BC²=AC²，故BC⊥AB．
∵PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
又∵BC?平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：取AB的中点F，连结PF，
∵PA=PB，∴PF⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PF?平面PAB，
∴PF⊥平面ABC，
过F作FG⊥EC于G，连结PG，则EC⊥PG．
于是∠PGF是二面角P-EC-B的平面角，
因此∠PGF=30°，
又∵PF=$\sqrt{2}$，∴FG=$\sqrt{6}$，
设BE=x（x＞2$\sqrt{2}$），
由△EFG∽△ECB，可得$\frac{FG}{BC}$=$\frac{EF}{EC}$，
∴$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{x-\sqrt{2}}{\sqrt{{x}^{2}+12}}$，即x²-4$\sqrt{2}$x-8=0，
解得x=2$\sqrt{2}$+4，
∴BE=2$\sqrt{2}$+4．

点评 本题考查空间中面面垂直的判定，及求线段的长，涉及到二面角的三角函数值、余弦定理、勾股定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．