[题目]已知椭圆经过点.且离心率为．(I)求椭圆的方程,(Ⅱ)过椭圆的右顶点做相互垂直的两条直线..分别交椭圆于.(.异于点).问直线是否通过定点?若过定点.求出定点坐标,若不过定点.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆经过点，且离心率为．

（I）求椭圆的方程；

(Ⅱ)过椭圆的右顶点做相互垂直的两条直线，，分别交椭圆于、（、异于点），问直线是否通过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)答案见解析.

【解析】分析：(Ⅰ)由题意计算可得，在椭圆方程为；

(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知，据此分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线通过定点.

详解：（Ⅰ）由题意，得，解得，．

所以椭圆的方程是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当直线的斜率不存在时，

直线的方程设为．，

由得，，解得或（舍去）.

当直线的斜率存在时，设直线的方程设为，设，

联立消去得，

则有，，

又，

由得，，

，，

，

即或，

若则直线的方程设为，过点，不在椭圆内，与题意不符.

若，代入到判别式中，判别式恒大于0，则满足有两个交点.

则直线的方程设为，过点得.

综上，直线通过定点．

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