Question

已知函数f(x)=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，t∈R，
（1）当t≠0时，求f(x)的单调区间；
（2）证明：对任意的t∈(0，+∞)，f(x)在区间(0，1)内均存在零点．

Answer 1

解：（1），
令f′(x)=0，解得x=-t或，
①当t＞0时，f′（x）＞0的解集为；
∴f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为；
②当t＜0时，f′（x）＜0的解集为，
∴f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为； 
（2）由（1）可知，当t＞0时，f(x)在内单调递减，在内单调递增，
∴①当即t≥2时，f(x)在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）单调递增，
，
所以对任意t∈[2，+∞)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点；
②当即0＜t＜2时，f(x)在内单调递减，在内单调递增，
若，
，
所以f(x)在内存在零点；
若，
f(0)=t-1＞0，
所以f(x)在内存在零点；
所以，对任意t∈(0，2)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意t∈(0，+∞)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点。