Question

11．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{π}{3}$），g（x）=2sin²$\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求函数y=f（x）+g（x）在[0，π]上的单调区间；
（Ⅱ）在△ABC中，A为锐角，且角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=$\sqrt{5}$，f（A）=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先展开两角和的正弦和余弦，代入y=f（x）+g（x）后化简，然后利用复合函数的单调性求在[0，π]上的单调区间；
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$求得sinA，进一步求得cosA，然后结合余弦定理即不等式求△ABC面积的最大值．

解答 解：f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{π}{3}$）=$sinxcos\frac{π}{6}+cosxsin\frac{π}{6}-cosxcos\frac{π}{3}+sinxsin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}sinx$．
g（x）=2sin²$\frac{x}{2}$=1-cosx．
（Ⅰ）y=f（x）+g（x）=$\sqrt{3}sinx-cosx$+1=2$sin（x-\frac{π}{6}）+1$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，得$2kπ-\frac{π}{3}≤x≤2kπ+\frac{2π}{3}$（k∈Z）．
令$2kπ+\frac{π}{2}≤x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$（k∈Z），得$2kπ+\frac{2π}{3}≤x≤2kπ+\frac{5π}{3}$（k∈Z）．
∴在[0，π]内y=f（x）+g（x）的单调递增区间是$[0，\frac{2π}{3}]$，单调递减区间是$[\frac{2π}{3}，π]$．
（Ⅱ）∵f（A）=$\sqrt{3}sinA$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，∴$sinA=\frac{\sqrt{15}}{4}$．
又∵A为锐角，∴$cosA=\frac{1}{4}$．
又∵a=$\sqrt{5}$，∴$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-5}{2bc}=\frac{1}{4}$．
∴${b}^{2}+{c}^{2}=5+\frac{1}{2}bc≥2bc$．
∴$bc≤\frac{10}{3}$．当且仅当 b=c=$\frac{3\sqrt{10}}{3}$时，bc取得最大值．
∴△ABC的面积最大值为$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{5\sqrt{15}}{12}$．

点评 本题考查了三角函数最值的求法，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，考查了利用余弦定理解决与三角形有关的问题，是中档题．