Question

如图，已知正三棱柱A₁B₁C₁－ABC的底面积等于cm²，D、E分别是侧棱B₁B，C₁C上的点，且有EC＝BC＝2DB，试求

(1)四棱锥A－BCDE的底面BCED的面积

(2)四棱锥A－BCED的体积

(3)截面ADE与底面ABC所成二面角的大小

(4)截面ADE的面积

Answer 1

答案：
解析：

答：(1)SBCED＝3 cm2，(2)VA－BCED＝cm2，(3)截面ADE与底面ABC成45°的二面角，(4)SΔADE＝cm2 　　解：设ΔABC边长为x，∵SΔABC＝x2＝．∴x＝2，于是EC＝BC＝2，DB＝BC＝1，∴SBCED＝(2＋1)·2＝3，作AF⊥BC于F 　　∴AF⊥平面BCED，VA－BCED＝·AF·SBCED，∴VA－BCED＝··2·3＝ 　　在RtΔABD中，AD2＝AB2＋DB2＝22＋12＝5；在Rt梯形BCED中，DE2＝(CE－DB)2＋BC2＝5 　　∴AD＝DE＝，∴ΔADE是等腰三角形，作DQ⊥AE于Q，则Q为AE的中点 　　在RtΔACE中，AE2＝EC2＋AC2＝8，DQ2＝AD2－AQ2＝()2－()2＝3 　　∴AE＝，DQ＝，SΔADE＝·AE·DQ＝ 　　设截面ADE与底面ABC所成二面角大小为α，D、E分别在底面的射影为B、C，∴ΔABC的面积＝ΔADE面积×cosα 　　即＝cosα，cosα＝，∴α＝45°

提示：

利用三棱柱的性质及已知条件，(1)、(2)、(4)不难推算，至于(3)，可设平面ADE与平面ABC所成二面角为α，观察到ΔADE在底面ABC的射影是ΔABC(∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC)应用SΔABC＝SΔADE·cosα，可求出α．