Question

4．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-2y+5≥0}\\{x-y≤0}\end{array}\right.$且z=4x-y的最大值是最小值的m倍，则m=15．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据直线平行求出目标函数的最大值和最小值建立方程关系进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
由z=4x-y得y=4x-z，
平移直线y=4x-z，由图象知，当直线y=4x-z经过A时，直线的截距最大，此时z最小，
经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-2y+5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（1，3），此时z最小值为z=4-3=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=5}\end{array}\right.$，即B（5，5），此时z最大值为z=4×5-5=15，
∵且z=4x-y的最大值是最小值的m倍，
∴15=m×1，
即m=15，
故答案为：15

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出目标函数的最优解，建立方程关系是解决本题的关键．