Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+mx+n以（0，a）为切点的切线方程是2x+y-2=0．
（Ⅰ）求实数m，n的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，根据切线方程求出斜率的值，从而求出m，n的值；
（Ⅱ）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅲ）结合函数的单调性，求出函数的极小值，进而求出函数的零点个数．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+mx+n，
∴f（x）的定义域是（-∞，+∞），且f′（x）=x²+x+m，
在切线方程2x+y-2=0中，令x=0，得y=2，即a=2，
∴n=f（0）=2，
∵切线斜率为f′（0）=-2，
∴m=-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=（x+2）（x-1），
当x变化时，函数f（x）、f′（x）变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数f（x）的单调增区间是（-∞，-2]，[1，+∞，单调减区间是，[-2，1]；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+2，
∴f（x）_极小=f（1）=$\frac{5}{6}$＞0，
又f（-6）=-40＜0，所以f（x）只有一个零点，即f（x）的零点个数为1．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．