Question

13．f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-mf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数m的范围；
（3）设h（x）=log₂[n-f（x）]，若此函数不存在零点，求n的范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=4a-2b+c=0}\\{f（0）=c=0}\\{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=-1}\end{array}\right.$，这样便可解出a=1，b=2，c=0，从而f（x）=x²+2x；
（2）求g（x）=（1-m）x²-2（1+m）x+1，根据g（x）是否为二次函数，讨论m：m=1时，容易判断出符合条件，m＜1，m＞1时，g（x）都为二次函数，根据二次函数的单调区间和对称轴的关系即可求出m的范围，并上m=1即可得出m的范围；
（3）求出h（x）=$lo{g}_{2}（-{x}^{2}-2x+n）$，该函数无零点，从而有-x²-2x+n＞0，且-x²-2x+n≠1，由判别式的取值即可得出n的范围．

解答 解：（1）由条件$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{c=0}\\{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=-1}\end{array}\right.$；
解得a=1，b=2，c=0；
∴f（x）=x²+2x；
（2）g（x）=（1-m）x²-2（1+m）x+1；
①若m=1，则g（x）=-4x+1满足在[-1，1]上为减函数；
②若m＜1，1-m＞0，g（x）的对称轴为x=$\frac{1+m}{1-m}$；
g（x）在[-1，1]上为减函数；
∴$\frac{1+m}{1-m}≥1$；
解得0≤m＜1；
③若m＞1，1-m＜0；
∴$\frac{1+m}{1-m}≤-1$；
解得m＞1；
∴综上得实数m的范围为[0，+∞）；
（3）h（x）=$lo{g}_{2}（-{x}^{2}-2x+n）$则-x²-2x+n＞0，且-x²-2x+n≠1；
-x²-2x+n＞0；
∴△=4+4n＞0；
∴n＞-1；
-x²-2x+n≠1；
∴-x²-2x+n-1≠0；
∴△=4+4（n-1）＜0；
∴n＜0；
∴-1＜n＜0；
∴n的范围为（-1，0）．

点评 考查求二次函数最值的公式，已知函数解析式求值，二次函数单调性和其对称轴的关系，以及解分式不等式，函数零点的定义，一元二次方程是否有解与判别式取值的关系，要熟悉二次函数的图象．