Question

5．通过市场调查，得到某产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如下表所示：

资金投入x	2	3	4	5	6
利润y	2	3	5	6	9

参考公式：$\left\{\begin{array}{l}{\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x\overline{y}}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}}\end{array}\right.$
（1）画出数据对应的散点图；
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程$\widehat{y}$=bx+a；
（3）现投入资金10（万元），求估计获得的利润为多少万元．

Answer 1

分析 （1）利用点的坐标直接画出散点图即可．
（2）求出样本中心坐标，求出回归方程的几何量，得到回归方程即可．
（3）利用回归直线方程直接求出现投入资金10（万元），估计获得的利润．

解答 解：（1）作图（2分）
（2）$\overline{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4$，$\overline{y}=\frac{2+3+5+6+9}{5}=5$，
$\widehat{b}=\frac{\sum _{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{n}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{2×3+3×3+4×5+5×6+6×9-5×4×5}{4+9+16+25+36-5×16}$=1.7 
∴$a=\overline{y}-b\overline{x}$=-1.8，∴$\hat{y}=1.7x-1.8$．
（3）当x=10（万元），y=17-1.8=15.2（万元）

点评 本题考查回归直线方程的求法，散点图的作法，考查计算能力．