Question

函数y=

1

2

sinx（x∈R）的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移

π

2

个单位所得的曲线是y=f（x）的图象，
（1）试求y=f（x）的周期和值域，
（2）求函数y=f（x）的单调递增、单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）通过函数图象的变换求出函数的解析式，利用三角函数的周期的求法求y=f（x）的周期正弦函数的值域求解函数的值域，
（2）通过正弦函数的单调性直接求解求函数y=f（x）的单调递增、单调递减区间．

解答：解：（1）由题知函数y=

1

2

sinx，（x∈R）的横坐标伸长为原来的2倍得y=

1

2

sin

1

2

x，
再向左平移

π

2

个单位得函数f（x）=

1

2

sin

1

2

(x+

π

2

)，
所以y=f（x）的周期为4π，值域为[-1，1]
（2）令-

π

2

+2kπ≤

1

2

(x+

π

2

)≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得-

3π

2

+4kπ≤x≤

π

2

+4kπ，k∈Z，
即函数的单调增区间为[-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ]，k∈Z，
同理函数的单调减区间为[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ]，k∈Z，

点评：本题考查三角函数的图象的变换，解析式的求法，三角函数的基本性质的应用，考查计算能力．