Question

13．已知函数f（x）=xlnx+x²-3x-$\frac{x}{e^x}$（x＞0）（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）求证：e^x≥x+1；
（Ⅲ）求证f'（x）在（0，+∞）上为单调递增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值．
（Ⅱ）构造函数h（x）=e^x-x-1，利用导数求解函数的最值，即可证明e^x≥x+1，
（Ⅲ）设$g（x）=f'（x）=lnx+2（x-1）+\frac{x-1}{e^x}$，求出导数，转化证明$\frac{1}{x}+2+\frac{2-x}{e^x}≥0$在（0，+∞）上恒成立，利用分析法证明f'（x）在（0，+∞）上为单调递增函数．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=lnx+2（x-1）+\frac{x-1}{e^x}$，
可得x＞1时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，
0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，
所以f（x）存在极小值为$f（1）=-2-\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）证明：h（x）=e^x-x-1，所以h'（x）=e^x-1，
当x≥0时，h'（x）≥0，h（x）为增函数，
当x＜0时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，
所以h（x）≥h（0）=0，所以e^x≥x+1，
（Ⅲ）证明：设$g（x）=f'（x）=lnx+2（x-1）+\frac{x-1}{e^x}$，
则$g'（x）=\frac{1}{x}+2+\frac{2-x}{e^x}$，欲证f'（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
只需证明$\frac{1}{x}+2+\frac{2-x}{e^x}≥0$在（0，+∞）上恒成立，显然x∈（0，2]符合题意，
当x＞2时，只需证明${e^x}≥\frac{{{x^2}-2x}}{2x+1}$．
因为（x+1）（2x+1）-（x²-2x）=x²+5x+1在x＞2时大于零，
所以${e^x}≥x+1＞\frac{{{x^2}-2x}}{2x+1}$，所以原式得证，
所以f'（x）在（0，+∞）上为单调递增函数．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力，构造法的应用，函数的最值的求法，难度比较大，