Question

【题目】点P在双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2 ， 则该双曲线的渐近线的斜率为 ．

Answer 1

【答案】±
【解析】解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2 ，
可得|PF2|=|F1F2|=2c，
由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，
可得|OA|=a，
设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，
在直角三角形PMF2中，可得|PM|= =2b，
即有|PF1|=4b，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
即4b﹣2c=2a，即2b=a+c，
即有4b2=（a+c）2 ，
即4（c2﹣a2）=（a+c）2 ，
可得a= c，b= c，
即有双曲线的渐近线方程y=± x，
该双曲线的渐近线的斜率为± ．
所以答案是：± ．