Question

20．在等比数列{a_n}中，q为公比，m，n，p，t∈N₊，且m+n=p+t．
求证：
（1）a_m•a_n=a_p•a_t；
（2）a_n=a_m•q^n-m．

Answer 1

分析 （1）（2）利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 证明：（1）∵a_m•a_n=${a}_{1}{q}^{m-1}$$•{a}_{1}{q}^{n-1}$=${a}_{1}^{2}$q^m+n-2，
a_p•a_t=${a}_{1}^{2}$q^p+t-2，m+n=p+t，
∴a_m•a_n=a_p•a_t．
（2）右边=${a}_{1}{q}^{m-1}•{q}^{n-m}$=${a}_{1}{q}^{m-1+n-m}$=${a}_{1}{q}^{n-1}$=a_n=左边．
∴a_n=a_m•q^n-m．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．