Question

10．已知曲线4x²-m²y²=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则双曲线的焦距为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，可得顶点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算可得m=1，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，计算即可得到双曲线的焦距．

解答 解：双曲线4x²-m²y²=1（m＞0）即为
$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{{m}^{2}}}$=1，可得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{m}$，
可得一顶点为（$\frac{1}{2}$，0），
一条渐近线方程为y=$\frac{2}{m}$x，即为2x-my=0，
由题意可得d=$\frac{2×\frac{1}{2}}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得m=1，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
可得双曲线的焦距为2c=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．