Question

18．已知P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1上一点，F₁，F₂为椭圆的两焦点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，可得$a=2\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{2}$．设|PF₁|=m，|PF₂|=n．再利用椭圆的定义、余弦定理可得mn，再利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，可得$a=2\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{2}$．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
则m+n=4$\sqrt{2}$，$cos\frac{π}{3}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}{2mn}$，
化为：mn=8．
∴S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}mnsin\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．