Question

6．已知函数f₀（x）=sinx+cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），…，其中n∈N，则f₁₉（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 利用导数的运算法则可得f_n+4（x）=f_n（x）．n∈N，即可得出．

解答 解：∵f₀（x）=sinx+cosx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=cosx-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-cosx，
f₃（x）=-cosx+sinx，
f₄（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
∴f₁₉（x）=f_4×4+3（x）=f₃（x）=-cosx+sinx，
∴f₁₉（$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

点评 本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，属于基础题．熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．