Question

11．在直角坐标系xOy中，抛物线C₁：x²=4y和圆C₂：x²+（y-5）²=9，点P是直线y=-4上的动点．
（1）过点P作圆C₂的切线，切点为M，N，若|MN|=$\frac{3\sqrt{91}}{5}$，求点P的坐标；
（2）过P所作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D，思考：四点A，B，C，D的横坐标之积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出C₂到直线MN的距离，由射影定理可得C₂P=30，利用两点间的距离公式求点P的坐标；
（2）当点P在直线y=-4上运动时，设P（x₀，-4），切线方程为kx-y-kx₀-4=0，所以（x₀²-9）k²+18x₀k+72=0，设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=-$\frac{18{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，k₁k₂=-$\frac{72}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}x-y-{k}_{1}{x}_{0}-4=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4k₁x+4（k₁x₀+4）=0，设四点A、B、C、D的横向联合坐标分别是x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁x₂=4（k₁x₀+4），x₃x₄=4（k₂x₀+4），由此能证明四点A，B，C，D的横坐标之积为定值．

解答 解：（1）设P（x，-4），则
∵圆C₂：x²+（y-5）²=9，|MN|=$\frac{3\sqrt{91}}{5}$，
∴C₂到直线MN的距离为$\sqrt{9-（\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{91}}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
由射影定理可得9=$\frac{3}{10}×{C}_{2}P$，∴C₂P=30，
∴$\sqrt{{x}^{2}+81}$=30，∴x=±3$\sqrt{91}$，
∴P（±3$\sqrt{91}$，-4）；
（2）当点P在直线y=-4上运动时，设P（x₀，-4），
由题意知x₀≠±3，过P且于圆C₂相切的直线的斜率存在，每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为y+4=k（x-x₀），即kx-y-kx₀-4=0，
∴$\frac{|-5-k{x}_{0}-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，
整理，得（x₀²-9）k²+18x₀k+72=0，①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁，k₂是方程①的两个实根，
∴k₁+k₂=-$\frac{18{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，k₁k₂=-$\frac{72}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，②
由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}x-y-{k}_{1}{x}_{0}-4=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4k₁x+4（k₁x₀+4）=0，③
设四点A、B、C、D的横向联合坐标分别是x₁，x₂，x₃，x₄，
则x₁，x₂是方程③的两个实根，
∴x₁x₂=4（k₁x₀+4），④
同理，x₃x₄=4（k₂x₀+4），⑤
由②④⑤三式得：
x₁x₂x₃x₄=16（k₁x₀+4）（k₂x₀+4）
=16[k₁k₂x₀²+4x₀（k₁+k₂）+16]
=16（$\frac{72{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}-4{x}_{0}•\frac{18{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-9}+16$）
=16×16=256．
∴当点P在直线y=-4上运动时，四点A、B、C、D的横坐标之积为定值256．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查四点的横坐标之积为定值的探求，考查韦达定理，知识综合性强，难度大．