Question

20．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2，点P在底面上的射影在AC上，E，F分别是AB，BC的中点．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）在PC边上是否存在点M，使得FM∥平面PDE？若存在，求出$\frac{PM}{MC}$的值；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和向量法可证AC⊥DE，再由题意和线面垂直的性质可得DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）当点M在PC边上且满足$\frac{PM}{MC}$=3时，FM∥平面PDE，作MN∥PD交CD与N，连接NF，可证平面MNF∥平面PDE，由面面平行的性质可得．

解答 （Ⅰ）证明：由题意可得|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AD}$|=2，且$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DE}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-${\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{1}{2}$×8-0-4=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{DE}$，即AC⊥DE，又点P在底面上的射影在AC上，
∴平面PAC⊥平面ABCD，又AC为平面PAC与平面ABCD的交线，
DE?平面ABCD，∴DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）当点M在PC边上且满足$\frac{PM}{MC}$=3时，FM∥平面PDE，下面证明：
作MN∥PD交CD与N，连接NF，在底面矩形中可证NF∥DE，
由MN∥PD可得MN∥平面PDE，由NF∥DE可得NF∥平面PDE，
再由MN和NF相交可得平面MNF∥平面PDE，
又MF?平面MNF，∴FM∥平面PDE．

点评 本题考查直线和平面平行和垂直的判定，作辅助线是解决问题的关键，属中档题．