Question

14．已知双曲线x²-$\frac{y^2}{m^2}$=1（m＞0）的渐近线与圆x²+（y+2）²=1没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为（2，4）．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，由直线和圆没有公共点，可得d＞r，解不等式可得m的范围，进而得到所求范围．

解答 解：双曲线x²-$\frac{y^2}{m^2}$=1（m＞0）的渐近线为y=±mx，
圆x²+（y+2）²=1的圆心为（0，-2），半径为1，
由直线和圆没有公共点，可得
d＞r，即为$\frac{|0+2|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$＞1，
解得0＜m＜$\sqrt{3}$，
双曲线x²-$\frac{y^2}{m^2}$=1（m＞0）的焦距为：
2c=2$\sqrt{1+{m}^{2}}$∈（2，4）．
故答案为：（2，4）．

点评 本题考查双曲线的焦距的范围，注意运用渐近线方程和直线和圆无公共点的条件：d＞r，考查运算能力，属于中档题．