Question

9．设关于x的实系数不等式（ax+3）（x²-b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则a²b=9．

Answer 1

分析 利用换元法设f（x）=ax+3，g（x）=x²-b，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断求解即可．

解答 解：∵（ax+3）（x²-b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴当x=0时，不等式等价为-3b≤0，即b≥0，
当x→+∞时，x²-b＞0，此时ax+3＜0，则a＜0，
设f（x）=ax+3，g（x）=x²-b，
若b=0，则g（x）=x²＞0，
函数f（x）=ax+3的零点为x=-$\frac{3}{a}$，则函数f（x）在（0，-$\frac{3}{a}$）上f（x）＞0，此时不满足条件；
若a=0，则f（x）=3＞0，而此时x→+∞时，g（x）＞0不满足条件，故b＞0；
∵函数f（x）在（0，-$\frac{3}{a}$）上f（x）＞0，则（-$\frac{3}{a}$，+∞））上f（x）＜0，
而g（x）在（0，+∞）上的零点为x=$\sqrt{b}$，且g（x）在（0，$\sqrt{b}$）上g（x）＜0，
则（$\sqrt{b}$，+∞）上g（x）＞0，
∴要使（ax+3）（x²-b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
则函数f（x）与g（x）的零点相同，即-$\frac{3}{a}$=$\sqrt{b}$，
∴a²b=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了不等式恒成立以及分类讨论思想、转化与化归思想及运算求解能力，解题时应根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质，得到两个函数的零点相同，是较难的题目．