Question

已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R.

(1)当θ=0时,求f(x)的单调增区间;

(2)θ∈(0,π),且sinx不恒为0,则θ为何值时,f(x)为偶函数?

Answer 1

解:(1)当θ=0时,f(x)=sinx+cosx=sin(x+).

由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得

2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).

∴f(x)的单调增区间是［2kπ-,2kπ+］(k∈Z).

(2)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x).

∴sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ).

∴sin(x+θ)+sin(x-θ)=cos(x+θ)-cos(x-θ).

展开整理得2sinxcosθ=-2sinxsinθ.

∵sinx不恒为零,∴cosθ=-sinθ.

∴tanθ=-1,θ=kπ-(k∈Z).

又∵θ∈(0,π),∴θ=.

故θ=时,f(x)为偶函数.