Question

已知等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，且有

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

，求首项a₁的取值范围．

Answer 1

分析：由

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

，我们可得

lim

n→∞

qⁿ一定存在，然后分0＜|q|＜1和q=1进行分类讨论，即可求出满足条件的首项a₁的取值范围．

解答：解：

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

，
∴

lim

n→∞

qⁿ一定存在．∴0＜|q|＜1或q=1．
当q=1时，

a1

2

-1=

1

2

，∴a₁=3．
当0＜|q|＜1时，由

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

得

a1

1+q

=

1

2

，∴2a₁-1=q．
∴0＜|2a₁-1|＜1．∴0＜a₁＜1且a₁≠

1

2

．
综上，得0＜a₁＜1且a₁≠

1

2

或a₁=3．

点评：当

lim

n→∞

qⁿ一定存在时，一定要注意分类讨论，当q=1时，

lim

n→∞

qⁿ=1，当0＜|q|＜1时，

lim

n→∞

qⁿ=0．