Question

1．函数f（x）是R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=$\frac{2}{x}$+x-1．
 （1）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数．
 （2）求当x＜0时，函数的解析式．
 （3）在区间（0，1）上，不等式m-f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）由x＜0，-x＞0，运用已知解析式，结合偶函数，即可得到所求解析式；
（3）由参数分离和（1）的结论，求出g（x）的范围，即可得到m的范围．

解答 解：（1）证明：设0＜m＜n＜1，f（m）-f（n）=$\frac{2}{m}$+m-1-（$\frac{2}{n}$+n-1）
=（m-n）（1-$\frac{2}{mn}$），
由0＜m＜n＜1，可得m-n＜0，0＜mn＜1，1-$\frac{2}{mn}$＜0．
则f（m）-f（n）＞0，即有f（x）在（0，1）上是减函数；
（2）当x＜0时，即有-x＞0时，f（-x）=-$\frac{2}{x}$-x-1，
由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），
即有f（x）=-$\frac{2}{x}$-x-1，（x＜0）；
（3）在区间（0，1）上，不等式m-f（x）＜0恒成立，
即为m+1＜x+$\frac{2}{x}$，
由g（x）=x+$\frac{2}{x}$在（0，1）递减，则g（x）＞3，
即有m+1≤3，
解得m≤2．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用，考查函数的奇偶性和运用，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．