Question

17．给出下列等式：$\sqrt{2}=2cos\frac{π}{4}$，$\sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{π}{8}$，$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2cos\frac{π}{16}$，…请从中归纳出第n（n∈N^*）个等式：$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}_{n个根号}$=$2cos\frac{π}{{{2^{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第n个等式即可

解答 解：因为：$\sqrt{2}=2cos\frac{π}{4}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{π}{8}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2cos\frac{π}{16}$，
…等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为$\frac{1}{2}$角的余弦值，角满足$\frac{π}{{2}^{n+1}}$；
从中归纳出第n（n∈N^*）个等式：$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}_{n个根号}$=2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．
故答案为：2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键．