Question

8．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+2x-1，x≤0}\end{array}\right.$，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中a，b，c，d互不相等，则对于命题p：abcd∈（0，1）和命题q：a+b+c+d∈[e+e^-1-2，e²+e^-2-2）真假的判断，正确的是（　　）

• A． p假q真
• B． p假q假
• C． p真q真
• D． p真q假

Answer 1

分析 画出函数f（x）=的图象，根据a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），令a＜b＜c＜d，根据对数的运算性质，及c，d的取值范围得到abcd的取值范围，再利用对勾函数的单调性求出a+b+c+d的范围得答案．

解答 解：作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+2x-1，x≤0}\end{array}\right.$的图象如图，

不妨设a＜b＜c＜d，图中实线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈（-2，-1]，
则a，b是x²+2x-m-1=0的两根，∴a+b=-2，ab=-m-1，
∴ab∈[0，1），且lnc=m，lnd=-m，
∴ln（cd）=0，
∴cd=1，
∴abcd∈[0，1），故①正确；
由图可知，c∈（$\frac{1}{{e}^{2}}，\frac{1}{e}$]，
又∵cd=1，a+b=-2，
∴a+b+c+d=c+$\frac{1}{c}$-2，在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]是递减函数，
∴a+b+c+d∈[e+$\frac{1}{e}$-2，e²+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2），故②正确．
∴p真q真．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，是中档题．