Question

3．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，D是BC边上一点，且$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{DB}$，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$ 的值为-2．

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{BC}$用基向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展开数量积得答案．

解答 解：如图，
∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=$（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}$
=$\frac{1}{3}×{1}^{2}+\frac{1}{3}×2×1×cos60°-\frac{2}{3}×{2}^{2}$=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的加法与减法法则，是中档题．