Question

(本小题满分14分)已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前项和．
（1）求、和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），，．
（2）的取值范围是．
（3）当且仅当， 时，数列中的成等比数列．

本试题主要是考查了数列通项公式与前n项和之间的关系的运用以及分类讨论思想求解最值。
（1）利用 a_n²=S_2n-1，n取1或2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；
（2）分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论．
（3）根据已知值成等比数列，可知参数m的范围，然后利用m是整数，得到值。
解：（1）（法一）在中，令，，
得  即      ………………………2分
解得，，                       …………………3分
．
，
．       ……………………5分
（法二）是等差数列，
．               …………………………2分
由，得 ，                        
又，，则．              …………………3分
(求法同法一)
（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      …………………………………6分
，等号在时取得．           
此时 需满足．               …………………………7分
②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．       ……………………………8分
是随的增大而增大， 时取得最小值．
此时 需满足．               …………………………9分
综合①、②可得的取值范围是．  …………………………10分
（3），
若成等比数列，则，即．11分
（法一）由，　　可得，
即， 　　　……………………12分
．    ……………………13分
又，且，所以，此时．
因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．…………14分
（法二）因为，故，即，
，（以下同上）．…………………13分