Question

已知C：x²+y²+2x-4y+3=0．圆C外有一动点P，点P到圆C的切线长等于它到原点O的距离，
（1）求点P的轨迹方程．
（2）当点P到圆C的切线长最小时，切点为M，求∠MPC的值．

Answer 1

分析：（1）设出点P的坐标，利用圆的方程可求得圆心和半径，根据题意可知PM|²=|PC|²-r²，求得x和y的关系式，则点P的轨迹方程可得．
（2）根据题意可知P到圆C的切线最小时，即P到原点的距离最小，此时OP所在的直线垂直于2x-4y+3=0，求得点P的坐标，进而利用点到直线的距离求得|PC|，进而在Rt△MPC中求得sin∠MPC，利用反三角函数求得∠MPC．

解答：解：（1）设点P的坐标（x，y）
由圆的方程可知圆心为（-1，2），
r²=2，且|PM|²=|PC|²-r²，
（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，
整理得2x-4y+3=0
（2）到P到圆C的切线最小时，即P到原点的距离最小，此时OP所在的直线垂直于
2x-4y+3=0，故点P（-

3

10

，

3

，5

），
此时|PC|=

7 5

10

，sin∠MPC=

2

7 5 10

=

2 10

7

∴∠MPC=arcsin

2 10

7

点评：本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用．考查了学生基本推理能力，数形结合的思想的运用，基本的计算能力．