Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=3a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列的前n项和，推出数列的通项公式，即可证明数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）通过b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，写出数列n=2，3，4…n，的关系式，通过累加法，求出数列的通项公式，然后利用通项公式，直接求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）证：因为  S_n=3a_n-2（n=1，2，…），S_n-1=3a_n-1-2（n=2，3，…），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1，整理得an=

3

2

an-1．
由S_n=3a_n-2，令n=1，得a₁=3a₁-2，解得a₁=1．
所以{a_n}是首项为1，公比是

3

2

的等比数列．…（6分）
（Ⅱ）解：由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），
得b_n+1-b_n=a_n（n=1，2，…）．
所以

b2-b1=a1， b3-b2=a2， … bn-bn-1=an-1，

从而 bn=b1+[a1+a2+…+an-1]=-3+

1-( 3 2 )n-1

1- 3 2

=2(

3

2

)n-1-5．
Tn=2[1+

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-1]-5n=4×(

3

2

)n-5n-4．…（13分）

点评：本题是中档题，考查等比数列的判断方法，通项公式的求法等知识，考查累加法的应用，考查计算能力，常考题型．