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    已知函数,,且点处取得极值．

    （Ⅰ）求实数的值；

    （Ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

    （Ⅲ）证明：．


    【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

    试题解析：（Ⅰ）∵，∴

    ∵函数在点处取得极值，

    ∴，即当时，

    ∴，则得.经检验符合题意

    （Ⅱ）∵,∴,

    ∴.

    令,

    则.

    ∴当时，随的变化情况表：

    1

    （1,2）

    2

    （2，3）

    3

    +

    0

    -

    ↗

    极大值

    ↘

    计算得：，，，

    所以的取值范围为。

    （Ⅲ）证明：令，

    则，

    令，则，

    函数在递增，在上的零点最多一个

    又，，

    存在唯一的使得，

    且当时，；当时，.

    即当时，；当时，.

    在递减，在递增，

    从而.

    由得即，两边取对数得：，，

    ，

    从而证得.

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         C．    D．

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