【题目】如图,四棱锥的侧面
是正三角形,
,且
,
,
是
中点.
(1)求证:平面
;
(2)若平面平面
,且
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1) 取的中点
,连接
,再证明四边形
是平行四边形即可.
(2) 取中点
,连接
,
,根据线面垂直性质计算可得
,再以
为原点,建立空间直角坐标系,利用空间向量的方法求解二面角
的余弦值即可.
(1)取的中点
,连接
,
因为是
中点,
所以,且
,
又因为,
,
所以,
,
即四边形是平行四边形,
所以,
又因为平面
,
平面
,
所以平面
;
(2)方法一:取中点
,连接
,
,
因为是正三角形,所以
,
因为平面平面
,
所以平面
,
平面
,
所以,
故,
以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
,
,
,
所以,
,
设平面的法向量为
,则
,
,
令得
,
易知平面的法向量为
,
则,
所以二面角的余弦值为
.
方法二:过作
交
于
,
所以,且
平面
,
过作
交
于
,连接
,
所以,
所以为二面角
的平面角,
因为,
,
因为平面
,
所以,且
,
又因为,所以
,
,
故,所以二面角
的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】按照水果市场的需要等因素,水果种植户把某种成熟后的水果按其直径的大小分为不同等级.某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售.为了了解这种水果的质量等级情况,现随机抽取了100个这种水果,统计得到如下直径分布表(单位:mm):
d | |||||
等级 | 三级品 | 二级品 | 一级品 | 特级品 | 特级品 |
频数 | 1 | m | 29 | n | 7 |
用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个,其中一级品2个.
(1)估计这批水果中特级品的比例;
(2)已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤,该种植户有20000斤这种水果待售,商家提出两种收购方案:
方案A:以6.5元/斤收购;
方案B:以级别分装收购,每袋20个,特级品8元/袋,一级品5元/袋,二级品4元/袋,三级品3元/袋.
用样本的频率分布估计总体分布,问哪个方案种植户的收益更高?并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”,要在10天之内,对武汉市民做一次全员检测,彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有份血液样本,有以下两种检验方式:
方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验1000次.
方案②:按个人一组进行随机分组,把从每组
个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这
个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验
次);否则,若呈阳性,则需对这
个人的血样再分别进行一次化验这样,该组
个人的血总共需要化验
次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为
,且这些人之间的试验反应相互独立.
(1)设方案②中,某组个人中每个人的血化验次数为
,求
的分布列;
(2)设. 试比较方案②中,
分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(在花卉进行硬枝扦插过程中,常需要用生根粉调节植物根系生长.现有20株使用了生根粉的花卉,在对最终“花卉存活”和“花卉死亡”进行统计的同时,也对在使用生根粉2个小时后的生根量进行了统计,这20株花卉生根量如下表所示,其中生根量在6根以下的视为“不足量”,大于等于6根为“足量”.现对该20株花卉样本进行统计,其中“花卉存活”的13株.已知“花卉存活”但生根量“不足量”的植株共1株.
编号 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
生根量 | 6 | 8 | 3 | 8 | 9 | 5 | 6 | 6 | 2 | 7 | 7 | 5 | 9 | 6 | 7 | 8 | 8 | 4 | 6 | 9 |
(1)完成列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下,认为“花卉的存活”与“生根足量”有关?
生根足量 | 生根不足量 | 总计 | |
花卉存活 | |||
花卉死亡 | |||
总计 | 20 |
(2)若在该样本“生根不足量”的植株中随机抽取3株,求这3株中恰有1株“花卉存活”的概率.
参考数据:
独立性检验中的,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C:的右顶点为A,左焦点为
,过点A的直线
与椭圆C的另一个交点为B,
轴,点
在直线
上.
(I)求的面积;
(II)过点S的直线与椭圆C交于P,Q两点,且
的面积是
的面积的6倍,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆,过点
作互相垂直的两条直线分别交椭圆
于点
(
与
不重合).
(1)证明:直线过定点
;
(2)若以点为圆心的圆与直线
相切,且切点为线段
的中点,求四边形
的面积.
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