Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是‘拐点’”．请你根据这一发现判断下列命题：
（1）任意三次函数都关于点(-

b

3a

，f(-

b

3a

))对称； 
（2）存在三次函数，f'（x）=0有实数解x₀，（x₀，f（x₀））点为函数y=f（x）的对称中心； 
（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心； 
（4）若函数g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

，则g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=-1006
其中正确命题的序号为（　　）

A．（1）（2）（4）

B．（1）（2）（3）（4）

C．（1）（2）（3）

D．（2）（3）

Answer 1

分析：（1）利用新定义，可知（1）正确；
（2）由（1）知，x₀=-

b

3a

，代入f'（x）=0，可得b²=3ac，由此可得结论；
（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心；
（4）求出对称中心，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意，f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），∴f″（x）=6ax+2b（a≠0），
∴令f″（x）=0，可得x=-

b

3a

，∴任意三次函数都关于点(-

b

3a

，f(-

b

3a

))对称，故（1）正确； 
（2）由（1）知，x₀=-

b

3a

，代入f'（x）=0，可得3a×

b2

9a2

-2b×

b

3a

+c=0，∴b²=3ac，此时，存在三次函数，f'（x）=0有实数解x₀，（x₀，f（x₀））点为函数y=f（x）的对称中心，故（2）正确； 
（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心，即不存在三次函数有两个及两个以上的对称中心，故（3）不正确； 
（4）∵g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

，∴g′（x）=x²-x
∴g″（x）=2x-1
令g″（x）=0，可得x=

1

2

，∴g（1）=-

1

2

∴g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

的对称中心为(

1

2

，-

1

2

)
∴g（x）+g（1-x）=-1
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=-1006，即（4）正确，
故选A．

点评：本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题．