Question

已知F是抛物线C：y²=4x的焦点，P是抛物线C上的动点，若定点A（-1，0），则

|PF|

|PA|

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：函数思想,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据抛物线的定义，范围得出

|PF|

|PA|

=

|x+1|

(x+1)2+y2

=

|x+1|

(x+1)2+4(x+1)-4

=

1

- 4 (x+1)2 + 4 (x+1) +1

，再利用换元法转化为

|PF|

|PA|

=

1

-4t2+4t+1

，0＜t≤1，二次函数求解．

解答： 解：设P（x，y），则y=4x，
∵定点A（-1，0），F（1，0），
∴

|PF|

|PA|

=

|x+1|

(x+1)2+y2

=

|x+1|

(x+1)2+4(x+1)-4

=

1

- 4 (x+1)2 + 4 (x+1) +1

设t=

1

(x+1)

，x≥0，0＜t≤1，
∴

|PF|

|PA|

=

1

-4t2+4t+1

，0＜t≤1，
当t=

1

2

时，g（t）=-4t²+4t+1最大值为2，
∴

1

-4t2+4t+1

最小值为

2

2

．

故答案为：

2

2

．

点评：本题考察了抛物线的定义，换元法，转化为二次函数的性质求解，属于中档题．