Question

5．已知函数f（x）=2^x-$\frac{1}{2^x}$（x∈R）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若2^xf（2x）+mf（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域为R，再由f（-x）=-f（x）可得函数f（x）=2^x-$\frac{1}{2^x}$为奇函数；
（2）由2^xf（2x）+mf（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，可得m≥-（2^2x+1），求出2^2x+1的最大值得答案．

解答 解　（1）由题意，x∈R，
由f（-x）=2^-x-$\frac{1}{{2}^{-x}}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$-2^x=-f（x），知f（x）是奇函数；
（2）当x=0时，m∈R．
x∈（0，+∞）时，要使${2}^{x}（{2}^{2x}-\frac{1}{{2}^{2x}}）+m（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）$≥0，
即$（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）（{2}^{2x}+1+m）$≥0恒成立，
∵x＞0时，2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$＞0恒成立，
∴2^2x+1+m≥0，即m≥-（2^2x+1），
∴m≥-（2⁰+1）=-2．
综上，m∈[-2，+∞）．

点评 本题考查函数奇偶性的判断，考查恒成立问题的求解方法，训练了分离变量法，是中档题．