【题目】已知(a>0)是定义在R上的偶函数,
(1)求实数a的值;
(2)判断并证明函数在的单调性;
(3)若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)函数在上是单调递增的;(3).
【解析】
试题(1)由函数为偶函数,得,代入函数表达式,化简求得,由,得;(2)用定义证明函数在上单调递增的步骤:设值—作差、变形—判断符号—得出结论;(3)将不等式转化为在上恒成立,即,只需求得函数的最小值,代入不等式即可求得m的范围.
试题解析:解析:(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x)
即=
∴ex-e-x=0,
∴(ex-e-x)=0,
∴a-=0,即a=±1.
而a>0,∴,∴f(x)=ex+e-x.
(2)函数在上是单调递增的.
证明:任取且x1<x2,
∴f(x)在上是增函数.
(3)由题意,在上恒成立,
则只需
∵f(x)为偶函数,且f(x)在上是增函数∴f(x)在(-∞,0)上是减函数,
∴f(x)的最小值为
则有,因此.
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【题目】若函数同时满足:①对于定义域上的任意,恒有;②对于定义域上的任意,当时,恒有,则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中:① ; ②; ③; ④ ,能被称为“理想函数”的有_____(请将所有正确命题的序号都填上).
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【题目】已知函数().
(1)若函数在区间上的最小值为1,求实数m的值;
(2)若函数,其中为奇函数,为偶函数,不等式对任意恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成两组,每组100只,其中组小鼠给服甲离子溶液,组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于”,根据直方图得到的估计值为.
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
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【题目】某工厂生产一种产品,根据预测可知,该产品的产量平稳增长,记2015年为第1年,第x年与年产量(万件)之间的关系如下表所示:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
4.00 | 5.52 | 7.00 | 8.49 |
现有三种函数模型:,,
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取这两年的数据求出相应的函数解析式;
(2)因受市场环境的影响,2020年的年产量估计要比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,估计2020年的年产量.
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【题目】如图1,有一边长为2的正方形ABCD,E是边AD的中点,将沿着直线BE折起至位置(如图2),此时恰好,点在底面上的射影为O.
(1)求证:;
(2)求直线与平面BCDE所成角的正弦值.
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【题目】如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小.
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