Question

【题目】如图，三棱台中，，．

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）过作交于点，连接，易证得，进而得到，得到，即，由线面垂直的判定定理得到平面，进而得到；

（2）根据题意，进一步得到，建立如图空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用公式求得的值，进而得到二面角的余弦值.

（1）过作交于点，连接，

因为，所以，

所以，所以，

所以，即，

因为，所以平面，

又因为平面，所以．

（2）因为，

所以，所以，

所以，因为，

所以，所以．

如图，以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

易知，所以，

所以，

设是平面的一个法向量，

则即

取，

易知平面的一个法向量，

则，

因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．