Question

1．已知函数f（x）=tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求出函数y=f（x）的表达式；
（2）对任意的a∈R，求y=f（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）由图象，知f（0）=tanφ=0，且|φ|＜$\frac{π}{2}$，再由T=$\frac{π}{ω}$，能求出函数y=f（x）的表达式．
（2）函数f（x）=tan2x的最小正周期为$\frac{π}{2}$，则长度为10π的区间包含了20个周期，由此能求出y=f（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

解答 解：（1）由函数f（x）=tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，知：
f（0）=tanφ=0，且|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=0，∴f（x）=tanωx，
∵$\frac{T}{2}=\frac{π}{4}$，∴T=$\frac{π}{2}$，
∴T=$\frac{π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{T}=2$，
∴函数y=f（x）的表达式为f（x）=tan2x．
（2）由（1）知函数f（x）=tan2x的最小正周期为$\frac{π}{2}$，
则长度为10π的区间包含了20个周期，
若区间的端点恰好是零点，则20个周期有21个零点，
若区间的端点不是零点，则20个周期有20个零点，
∴y=f（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值是20或21．

点评 本题考查函数的表达式的求法，考查函数在闭区间内的零点个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数的图象及性质的合理运用．