Question

13．某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人，为了解两校全体高二级学生期 末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学 成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在[120，150]为优秀．
甲校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
频数	2	3	10	15	15	x	3	1

乙校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
频数	1	2	9	8	10	10	y	3

（1）求表中x与y的值；
（2）由以上统计数据完成下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关？
（3）若以样本的频率作为概率，现从乙校总体中任取3人（每次抽取看作是独立重复的），求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

	甲校	乙校	总计
优秀
非优秀
总计

Answer 1

分析 （1）根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数；
（2）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到没有99%的把握认为认为学生数学成绩优秀与所在学校有关．
（3）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ服从ξ～B（3，$\frac{2}{5}$）的二项分布，由P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}$（$\frac{2}{5}$）^k（$\frac{3}{5}$）^3-k，（k=0，1，2，3），分别求得其概率，由ξ数学期望E（ξ）=np=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，即可求得优秀学生人数ξ的数学期望$\frac{6}{5}$．

解答 解：（1）由分层抽样可知：甲校抽取：105×$\frac{1100}{2100}$=55人，乙校抽取105-55=50，
∴2+3+10+15+15+x+3+1=55，解得：x=6，
由1+2+9+8+10+10+y+3=50，解得：y=7，
（2）由表中数据完成2×2列联表：

	甲校	乙校	总计
优秀	10	20	30
非优秀	45	30	75
总计	55	50	105

由K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{105（10×30-20×45）^{2}}{30×75×55×50}$≈6.109＜6.635，
∴没有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关；
（3）由题意知，乙校优秀的概率为$\frac{2}{5}$，优秀学生人数ξ可能取值为0，1，2，3．
又ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），且P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}$（$\frac{2}{5}$）^k（$\frac{3}{5}$）^3-k，（k=0，1，2，3）
∴分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

∴随机变量ξ数学期望：E（ξ）=np=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，
优秀学生人数ξ的数学期望$\frac{6}{5}$．

点评 本题主要考查离散型随机变量的期望与方差、独立性检验的应用，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于中档题．