Question

2．设数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，已知a_n＞0，（a_n+1）²=4（S_n+1），b_nS_n-1=（n+1）²，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前项和T_n；
（3）且符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[$\frac{2}{3}}$]=0，[${\frac{11}{12}}$]=0，[${\frac{21}{20}}$]=0，[2.8]=2．当n∈N^*时，试求[T₁]+[T₂]+…+[T_n]．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：当$n=1，{（{a_1}+1）^2}=4（{a_1}+1）$，解得：a₁=3，则${a}_{n}^{2}$+2a_n+1=4S_n+4①，当n≥2时，${a}_{n-1}^{2}$+2a_n-1+1=4S_n-1+4②，①-②得a_n-a_n-1=2，因此数列{a_n}为首项为3，公差为2的等差数列，根据等比数列的通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：${S_n}=\frac{（3+2n+1）n}{2}={n^2}+2n$，${b_n}（{n^2}+2n）-1={n^2}+2n+1$，${b_n}=\frac{{{n^2}+2n+2}}{{{n^2}+2n}}=1+\frac{2}{{{n^2}+2n}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，采用分组求和及“裂项法”即可求得数列{b_n}的前项和T_n；
（3）由（2）可知：[T₁]+[T₂]+…+[T_n]=1+2+4+5+6+7+…+n+1，根据等差数列通项公式即可求得[T₁]+[T₂]+…+[T_n]的值．

解答 解：（1）当$n=1，{（{a_1}+1）^2}=4（{a_1}+1）$，整理得：${a}_{1}^{2}$-2a₁-3=0，
解得：a₁=3或a₁=-1（舍去）
${a}_{n}^{2}$+2a_n+1=4S_n+4①
当n≥2时，${a}_{n-1}^{2}$+2a_n-1+1=4S_n-1+4②
①-②得${a_n}^2-{a_{n-1}}^2+2{a_n}-2{a_{n-1}}=4{a_n}$，化简得：${a_n}^2-{a_{n-1}}^2=2（{a_n}+{a_{n-1}}）$，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}为首项为3，公差为2的等差数列，
∴a_n=3+（n-1）2=2n+1，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1；
（2）由（1）得，${S_n}=\frac{（3+2n+1）n}{2}={n^2}+2n$，
${b_n}（{n^2}+2n）-1={n^2}+2n+1$，
∴${b_n}=\frac{{{n^2}+2n+2}}{{{n^2}+2n}}=1+\frac{2}{{{n^2}+2n}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，
∴${T_n}=n+（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
=$n+（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
=$n+\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$，
数列{b_n}的前项和T_n，T_n=$n+\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$；
（3）由（2）可知：[T₁]+[T₂]+…+[T_n]=1+2+4+5+6+7+…+n+1，
=$\frac{（4+n+1）（n-2）}{2}+3$，
=$\frac{{{n^2}-3n-4}}{2}$．

点评 本题考查等差数列通项公式及前n项和公式的应用，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．