Question

8．设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，则关于x的方程$\overrightarrow{a}$x²+$\overrightarrow{b}$x+$\overrightarrow{c}$=0的解的情况是（　　）

• A． 至少有一个实数解
• B． 至多只有一个实数解
• C． 至多有两个实数解
• D． 可能有无数个实数解

Answer 1

分析 向量a与b不共线，可设向量c=ma+nb，m，n均为实数，即a（x²+m）+b（x+n）=0．等价于求方程组x²+m=0，x+n=0的解即可判断．

解答 解：由题意：向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，设向量$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$，m，n均为实数．
  原方程可化为：$\overrightarrow{a}$x²+$\overrightarrow{b}$x+$\overrightarrow{c}$=0转化为$\overrightarrow{a}$x²+$\overrightarrow{b}$x+m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=0，
即（m+x²）$\overrightarrow{a}$+（n+x）$\overrightarrow{b}$=0等价于求方程组m+x²=0，n+x=0的解．
该方程组可能一解，可能无解
则有一个解，否则无解
所以至多一个解．
故选B．

点评 本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任意向量都可由两不共线的非零向量唯一表示出来．