Question

3．实数a，b，c，d满足|b-a+4|+（c+d²-3lnd）²=0，则（b-d）²+（a-c）²的最小值是18．

Answer 1

分析 根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{c+{d}^{2}-3lnd=0①}\\{b-a+4=0②}\end{array}\right.$，（a-c）²+（b-d）²是曲线y=-x²+3lnx与直线y=x+4之间的最小距离的平方值，由此求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答 解：根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{c+{d}^{2}-3lnd=0①}\\{b-a+4=0②}\end{array}\right.$，
①中，设c=y，d=x，则y=-x²+3lnx，（x＞0）；
②中，设b=x，a=y，则y=x+4；
∴（a-c）²+（b-d）²是曲线y=-x²+3lnx与直线y=x+4之间的最小距离的平方值；
对曲线y=-x²+3lnx求导，得y'（x）=-2x+$\frac{3}{x}$，
与y=x+4平行的切线斜率k=1=-2x+$\frac{3}{x}$，即2x²+x-3=0；
解得x=1，此时y=-1；
∴切点（1，-1）到直线y=x+4的距离为d=$\frac{6}{\sqrt{2}}$，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值是18．
故答案为18

点评 本题考查了利用导数的性质求最小值的问题，解题的关键是把所求的结论转化为可解答的曲线上的点到直线的最小距离问题，是难题．