Question

14．偶函数定义在R上，当x＞0时，f（x）＜xf′（x），且 f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用g（x）的单调性和奇偶性解不等式．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
当x＞0时，f（x）＜xf′（x），
故x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
而函数是偶函数，故g（x）在（-∞，0）递减，
∴x＞0时，不等式xf（x）＞0，即f（x）＞0=f（1），
解得：x＞1，
x＜0时，不等式xf（x）＞0，即f（x）＜0=f（-1），
解得：-1＜x＜0，
故不等式的解集是（-1，0）∪（1，+∞），
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，利用条件构造函数，然后利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．