Question

2．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx（a＞0）在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，1）∪（4，+∞）
• C． （0，1）∪（4，+∞）
• D． （0，1]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 求函数的定义域和导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为g′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$
要使函数g（x）在[1，2]上为单调函数，
若函数g（x）为增函数，则g′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$≥0恒成立，即a≤x²，
∵x∈[1，2]，∴1≤x²≤4，此时a≤1，又a＞0，可得a∈（0，1]
若函数g（x）为减函数，则g′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$≤0恒成立，即a≥x²，
∵x∈[1，2]，∴1≤x²≤4，此时a≥4，
故a∈（0，1]∪[4，+∞）
故选：D．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．