Question

10．已知下列命题：
①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC一定是等腰三角形；
②已知α是锐角，且$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，则$sinα=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$；
③将函数$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$图象上的所有点向左平移$\frac{π}{12}$个单位，则得到的函数图象关于y对称；
④若$sinx=-\frac{4}{5}$，$x∈（-\frac{π}{2}，0）$，则$tan2x=\frac{24}{7}$．
其中所有正确命题的序号是②③④．

Answer 1

分析 由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，从而判断三角形的形状判断①；利用“拆角配角”思想求值判断②；由函数图象的平移求出平移后的函数解析式判断③；
由已知求出tan2x判断④．

解答 解：①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，△ABC是等腰或直角三角形，故①错误；
②已知α是锐角，则$α+\frac{π}{4}∈$（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$），又$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，∴sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
则$sinα=sin[（α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]=sin（α+\frac{π}{4}）cos\frac{π}{4}-cos（α+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$，故②正确；
③将函数$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$图象上的所有点向左平移$\frac{π}{12}$个单位，则得到的函数图象的解析式为$y=sin[2（x+\frac{π}{12}）+\frac{π}{3}]=sin（2x+\frac{π}{2}）=cos2x$，关于y对称，故③正确；
④由$sinx=-\frac{4}{5}$，$x∈（-\frac{π}{2}，0）$，的cosx=$\frac{3}{5}$，∴tanx=$-\frac{4}{3}$，则tan2x=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}=\frac{-\frac{8}{3}}{1-\frac{16}{9}}=\frac{24}{7}$，故④正确．
∴正确命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查命题的真假判定与应用，考查了三角函数的图象和性质，考查三角函数值的求法，是中档题．