Question

1．直线y=a分别与曲线y=2x+5，y=x+lnx交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 设A（x₁，a），B（x₂，a），则2x₁+5=x₂+lnx₂，表示出x₁，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．

解答 解：设A（x₁，a），B（x₂，a），则2x₁+5=x₂+lnx₂，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+lnx₂-5），
∴|AB|=x₂-x₁=x₂-$\frac{1}{2}$（x₂+lnx₂-5）=$\frac{1}{2}$（x₂-lnx₂+5），
令y=$\frac{1}{2}$（x-lnx）+$\frac{5}{2}$，则y′=$\frac{x-1}{2x}$，
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数的最小值为3，
∴|AB|的最小值为3，
故选：A

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．